Деление. Деление с остатком

Рассмотрим схему решения задачи на умножение.
В таблице а строк и b столбцов. Сколько в таблице клеток? (Ответ: а · b клеток.)

Буквы а и b здесь обозначают какие-то натуральные числа. А как объяснить здесь ответ а · b? Сделаем это на примере таблицы, в которой 4 столбца, а в каждом столбце по 3 клетки. Сколько же всего клеток в таблице? Произведение 3 · 4.

Как вы думаете, почему действие, обратное умножению, называют делением?

Чтобы ответить на этот вопрос, давайте обсудим задачу о плитке шоколада. Такая плитка имеет форму прямоугольника, разделенного на клеточки. Настоящая таблица! У нее и строки и столбцы есть.

Задача 1. В плитке шоколада 5 строк и 8 столбцов. Сколько в ней долек? Вы, конечно, сразу нашли ответ: 40 долек.
Видите, наша задача имеет такую же схему, где вместо буквы а поставлено число 5, а вместо b — число 8.
А теперь пусть множитель а нам неизвестен, то есть получается задача, обратная к задаче 1.
Задача 2. В плитке шоколада 40 долек и 8 столбцов. Сколько в ней строк?
Каждому видно: сколько строк, столько и долек в шоколадном столбце. Значит, вопрос задачи можно пересказать так: сколько долек в каждом столбце? Чтобы дать ответ, надо разделить плитку на 8 столбцов. Вот и понятно, почему обратное действие названо делением. Ответ в задаче дает выражение 40 : 8.

Вообще если в таблице с клеток и b столбцов, то в ней с : b строк. Итак, ЧАСТНОЕ ПРИ ДЕЛЕНИИ ЧИСЛА с НА ЧИСЛО b — ЭТО ТАКОЕ ЧИСЛО а, ПРОИЗВЕДЕНИЕ КОТОРОГО НА b  РАВНО с.

а = с : b,   если   а · b = с

А теперь пусть неизвестен множитель b. Тогда получается задача, тоже обратная к задаче 1.
Задача 3. В плитке 40 долек и 5 строк. Сколько в ней столбцов?
Вообще если в таблице с клеток и а строк, то в ней с : а столбцов.

Как одно число разделить на другое «столбиком»?

Сначала подбирается в частном цифра самого старшего разряда, затем следующего по старшинству разряда и т. д.

Рассмотрим примеры деления семизначных чисел на четырехзначные. В частном 2 728 296 : 3672 делитель – четырехзначное число, значит, выделим слева первые четыре цифры делимого. Это 2 728. Оно меньше, чем 3672. Тогда добавим пятую цифру и рассмотрим число 27 282. Прикинем, сколько раз число 3672 войдёт в 27 282, поделив 27 на 3. Получаем 9. Но так как число 3672 ближе к 4000, чем к 3000, то предположим, что цифра самого старшего разряда в частном может быть 8, а не 9. Проверяем, 3672 · 8 = 29 376. Получили число, большее, чем 27 282, значит, предположение было неправильным. Берём для частного цифру, ещё меньшую на 1, то есть 7. Делаем проверку: 3672 · 7 = 25704 < 27 282, значит, цифра самого старшего разряда будет 7. Запишем её в частное. Вычтем 27 282 – 25 704 = 1578, получаем остаток 1578 < 3672.
Каждая последующая цифра делимого (в нашем примере это цифры 9 и 6) даст дополнительно цифру в частном, то есть окончательно мы получим в ответе трёхзначное число. Так мы оцениваем число цифр, которое должно получиться в ответе в результате деления.
К остатку 1578 сносим следующую цифру – 9, то есть дальше делим 15789 на 3672. Делаем прикидку результата 15 : 3 = 5. Но опять предположим, что следующая цифра в частном будет 4, а не 5 (так как число 3672 ближе к 4000, чем к 3000). Проверяем, 3672 · 4 = 14688. остаток будет 15789 – 14688 = 1101, и он 1101 < 3672. Сносим следующую цифру 6 и производим деление. Получаем, 11016 : 3672 = 3. Окончательное частное 2 728 296 : 3672 = 743. В этом примере мы объяснили, как возникает каждая цифра частного.

Во втором случае, при делении числа 7 032 300 на число 3417, осталось число 114. Его дальше делить на 3417 невозможно: ведь оно меньше, чем 3417. Число 114 называется остатком от деления числа 7 032 300 на число 3417. Если при делении одного натурального числа на другое получается остаток, значит, первое число не делится на второе нацело. Итак, можно сделать вывод: из двух данных натуральных чисел не всегда одно нацело делится на другое.

Никогда не забывайте, что остаток должен быть всегда меньше делителя.

На «0» делить нельзя. Как это объяснить? Давайте рассуждать. Возьмем какое-нибудь число, например 5. Что значит разделить 5 на 0? Это значит найти такое число а, что а · 0 = 5. Но мы знаем, что а · 0 = 0 всегда. Так что подобрать нужное число невозможно.

НИКАКОЕ НАТУРАЛЬНОЕ ЧИСЛО НЕВОЗМОЖНО РАЗДЕЛИТЬ НА 0.

А нуль возможно разделить на натуральное число?

Опять давайте рассуждать. Что значит разделить 0 на число b? Это значит найти такое число а, что а : b = 0. Можно ли такое число а найти? Всем ясно, что можно — годится число 0. Ведь 0 · b = 0. Итак, при делении нуля на натуральное число частное равно нулю.

Как проверить, правильно ли выполнено деление?

Для такой проверки есть два способа.
1-й — нужно перемножить делитель и частное, получится делимое.
2-й — нужно разделить делимое на частное, получится делитель.

Делимое : Делитель = Частное
Проверка:
1)    Делитель · Частное = Делимое;
2)    Делимое : Частное = Делитель.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *